题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)设,
,
,求函数
的最小值
;
(3)对(2)中的,若不等式
对于任意的
时恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)利用函数单调性得证明方法证明函数在上是增函数,利用单调性求其值域;(2)通过换元法,问题转化为二次函数求最小值,利用对称轴分类讨论即可;(3)分离参数,求函数的最值,求最值时利用函数单调性.
试题解析:(1) 在任取
且
,则
,
,
所以, ,即
,
所以是
上增函数,故当
时,
取得最小值
,当
时,
取得最大值
,所以函数
的值域为
.
(2) ,
,
令,
,则
.
①当时,
在
上单调递增,故
;
②当时,
在
上单调递减,故
;
③当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,故
;
综上所述,
(3)由(2)知,当时,
,所以
,
即,整理得,
.
因为,所以
对于任意的
时恒成立.
令,
,问题转化为
.
在任取
且
,则
,
,
所以, ,
①当时,
,所以
,即
,
所以函数在
上单调递增;
②当时,
,所以
,即
,
所以函数在
上单调递减;
综上, ,从而
.
所以,实数的取值范围是
.
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练习册系列答案
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日需求量 | |||||||
频数 |
以天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
(1)求该超市水果日需求量
(单位:千克)的分布列;
(2)若该超市一天购进水果
千克,记超市当天
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(单位:元),求
的分布列及其数学期望.