题目内容

7.在△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=$\sqrt{5}$,点M,N满足$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AN}=(1-λ)\overrightarrow{AC}$,λ∈R,若$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$,则λ=$\frac{2}{3}$.

分析 由题意推出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$,根据$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$,通过向量的转化求得λ的值.

解答 解:由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$,
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AN}=(1-λ)\overrightarrow{AC}$,λ∈R,
由于$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}$=$(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB})•(\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC})$=[$(1-λ)\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$]•[$λ\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$]
=$λ(1-λ)\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$$-(1-λ)|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$-λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-4(1-λ)-λ=-2,
解得:λ=$\frac{2}{3}$,
故答案为:$\frac{2}{3}$.

点评 本题考查平面向量的数量积运算,着重考查了向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识,属于中档题.

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