Question

7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=$\sqrt{5}$，点M，N满足$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=（1-λ）\overrightarrow{AC}$，λ∈R，若$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$，则λ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由题意推出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，根据$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}=-2$，通过向量的转化求得λ的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=（1-λ）\overrightarrow{AC}$，λ∈R，
由于$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{CM}$=$（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）$=[$（1-λ）\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$]•[$λ\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$]
=$λ（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$$-（1-λ）|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$-λ|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=-4（1-λ）-λ=-2，
解得：λ=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，着重考查了向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．