Question

已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)="-" .
(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；
（2）求f(x)在［-3，3］上的最值.

Answer 1

（1）证明见解析（2）f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2

（1）f(x)在R上是单调递减函数
证明如下：
令x=y=0,f(0)=0,令x=-y可得：f(-x)=-f(x),在R上任取x₁＜x₂,则x₂-x₁＞0,
∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(-x₁)=f(x₂-x₁).又∵x＞0时，f(x)＜0,
∴f(x₂-x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁).由定义可知f(x)在R上为单调递减函数.
（2）∵f(x)在R上是减函数，
∴f（x）在［-3，3］上也是减函数.
∴f（-3）最大，f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×（-=-2.
∴f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在［-3，3］上最大值为2，最小值为-2.