题目内容
【题目】已知椭圆E：
＋
＝1(a>b>0)的离心率为
，焦点到相应准线的距离为
.
(1) 求椭圆E的标准方程；
(2) 已知P(t，0)为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：
为定值．
【答案】(1)
＋y2＝1；(2)证明见解析
【解析】
（1）题中已知条件为
＝
，则
－c＝
，结合
可求得椭圆标准方程；
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简，应用韦达定理得
，代入
化简，同理得
，作比值
可得定值．
(1)设椭圆的半焦距为c，由已知得，
＝，则－c＝，c2＝a2－b2，
解得a＝2，b＝1，c＝
，
所以椭圆E的标准方程是＋y2＝1.
(2) 由题意，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简得
(1＋4
)x2－8tx＋4t2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝
，x1x2＝
，
因为PA＝
|x1－t|，PB＝|x2－t|，
所以PA·PB＝(1＋)|x1－t||x2－t|＝(1＋)|t2－(x1＋x2)t＋x1x2|
＝(1＋)|t2－
＋|＝
，
同理，PC·PD＝
，
所以＝
为定值．
寒假创新型自主学习第三学期寒假衔接系列答案【题目】某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：
年份 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 |
收入 | 25 | 28 | 32 | 35 |
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
，并估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）
（2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．
参考公式：
，
，其中
，
为数，的平均数．
【题目】2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.
（1）请将列联表填写完整：
有接触史 | 无接触史 | 总计 | |
有武汉旅行史 | 27 | ||
无武汉旅行史 | 18 | ||
总计 | 27 | 54 |
（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
