题目内容
【题目】在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断：
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②{（﹣1）n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列；
④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．
其中正确命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断①；利用等方差数列的定义判断②；先表示出{akn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断③；利用等方差数列和等差数列的定义判断④．
①若数列{an}是等方差数列，则有
p（n∈N*，且n≥2），
则数列{
}是公差为p的等差数列，故①正确；
②数列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*），
∴数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确；
③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，…
∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p
∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp
∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即数列{akn}是等方差数列，故③正确；
④∵数列{an}是等差数列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）．
∵数列{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2），
∴（an+an﹣1）d1＝d2，
∴当d1≠0时，
为常数列；
当d1＝0，数列{an}为常数列．
则该数列{an}必为常数列，故④正确．
∴正确命题的个数是4个．
故选：D．
本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．
