题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设为椭圆右顶点,过椭圆
的右焦点的直线
与椭圆
交于
,
两点(异于
),直线
,
分别交直线
于
,
两点. 求证:
,
两点的纵坐标之积为定值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出后可得椭圆方程.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在,计算可得
两点的纵坐标之积为
.当直线
的斜率存在时,可设直线
的方程为
,
,则
,联立直线方程和椭圆方程,消去
后利用韦达定理化简
后可得定值.
解:(Ⅰ)因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切,
所以半径等于原点到直线的距离
,
,即
.
由离心率,可知
,且
,得
.
故椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由椭圆的方程可知
.
若直线的斜率不存在,则直线
方程为
,
所以.
则直线的方程为
,直线
的方程为
.
令,得
,
.
所以两点的纵坐标之积为
.
若直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由得
,
依题意恒成立.
设,
则.
设,
由题意三点共线可知
,
所以点的纵坐标为
.同理得点
的纵坐标为
.
所以
综上,两点的纵坐标之积为定值.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知甲、乙两地生产同一种瓷器,现从两地的瓷器中随机抽取了一共300件统计质量指标值,得到如图的两个统计图,其中甲地瓷器的质量指标值在区间和
的频数相等.
甲地瓷器质量频率分布直方图 乙地瓷器质量扇形统计图
(1)求直方图中的值,并估计甲地瓷器质量指标值的平均值;(同一组中的数据用区间的中点值作代表)
(2)规定该种瓷器的质量指标值不低于125为特等品,且已知样本中甲地的特等品比乙地的特等品多10个,结合乙地瓷器质量扇形统计图完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为甲、乙两地的瓷器质量有差异?
物等品 | 非特等品 | 合计 | |
甲地 | |||
乙地 | |||
合计 |
附:,其中
.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |