题目内容
【题目】如图,正三棱柱的所有棱长都为
是
的中点,
在
边上,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若是侧面
内的动点,且
平面
.
①在答题卡中作出点的轨迹,并说明轨迹的形状(不需要说明理由);
②求二面角的余弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)①取的中点
,
的中点
,连接
,则点
的轨迹就是线段
;②
.
【解析】
(1)证出,
,利用线面垂直的判定定理可得
平面
,再利用面面垂直的判定定理即可证出面面垂直.
(2)①取的中点
,
的中点
,连接
,可得点
的轨迹;②以
、
所在的直线为
轴、
轴建立空间直角坐标系
,求出平面
的一个法向量以及平面
的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求解.
(1)在正三棱柱中,因为
平面
,
平面
,
所以.
在等边中,
是
的中点,所以
.
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)①取的中点
,
的中点
,连接
,则点
的轨迹就是线段
.
②由图可知当点与点
重合时,二面角
的余弦值取到最大值.
以、
所在的直线为
轴、
轴建立空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
,
,
设平面的一个法向量为
.
由得
令,解得
.
所以.
设平面的一个法向量为
由得
令
,解得
.
所以.
因此.
故二面角的余弦值得最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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