题目内容
【题目】已知O为坐标原点，椭圆C:
的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为A,上顶点为B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且
，求
的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
⑴利用已知条件，算出
，
，再根据
，求出
，写出椭圆方程
⑵
可得
，设
，直线
的方程为
，联立直线的方程和椭圆
的方程，消去
，根据韦达定理，求出
的表达式，利用基本不等式求出最小值
解：（1）易知
，
，
而
又
，得
，
故椭圆
的标准方程为
（2）由（1）知
，∵
，故
，设
，
∴
，直线
的斜率为
，
当
时，直线
的斜率为
，直线的方程为
；
当
时，直线的方程为
，也符合方程．
设
，
，将直线的方程与椭圆的方程联立，得
消去
，得：
，
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
∴
的最小值为
．
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