题目内容
【题目】已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=an2+ 
an ， n∈N*
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求数列{ 
}的前n项和Tn
（3）若Tn≤λ（n+4）对任意n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
【答案】
（1）解：∵Sn=an2+ 
an，
∴Sn+1=an+12+ an+1，
两式相减得：an+1= 
﹣ 
+ （an+1﹣an），
∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣ ）=0，
∵数列{an}的各项都是正数，
∴an+1﹣an= ，
又∵a1= 
+ a1，
∴a1= ，
∴数列{an}是以 为首项、 为公差的等差数列，
∴an= +（n﹣1） = 
（2）解：∵an= ，
∴bn﹣bn﹣1=2an=2 =n，
∴b2﹣b1=2，
b3﹣b2=3，
…
bn﹣bn﹣1=n，
累加得：bn﹣b1= 
，
又∵b1=1，
∴bn=b1+ =1+ = 
，
∴ 
= 
=2（ 
﹣ 
），
∴ 
（3）解：∵Tn= 
，
∴Tn≤λ（n+4），
∴λ≥ 
= 
= 
，
∵n+ 
≥2 
=4当且仅当n=2时取等号，
∴当n=2时 有最大值 
，
∴ 
【解析】（1）通过Sn=an2+ an、Sn+1=an+12+ an+1 ， 作差、分析可得an+1﹣an= ，进而可得结论；（2）通过an= ，可得bn﹣bn﹣1=n，累加即得：bn﹣b1= ，从而可得bn= ，裂项可得 =2（ ﹣ ），并项相加即得结论；（3）通过Tn= 、Tn≤λ（n+4），整理可得λ≥ ，利用基本不等式即得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．
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