题目内容
【题目】函数满足如下四个条件:
①定义域为;
②;
③当时,
;
④对任意满足
.
根据上述条件,求解下列问题:
⑴求及
的值.
⑵应用函数单调性的定义判断并证明的单调性.
⑶求不等式的解集.
【答案】(1)0; (2)见解析; (3)
【解析】
(1) 在中,令
可得:
;
在中,令
,可得
.
(2) 为
上的增函数.设
,利用,
,
可得,结合
时,
,利用单调性的定义可证.
(3)根据,可得
,所以原不等式可化为
,再利用单调性可解得.
(1)在中,
令,得
,解得
.
在中,令
.
得,
得,
得,
所以.
(2) 为
上的增函数.
证明如下:设,则
所以
.
因为=
=
,
即.
根据增函数的定义可知, 为
上的增函数.
(3)因为,
所以,
又因为,所以
,
所以,
所以,
由(2)知函数在
上单调递增,
所以,解得:
.
所以不等式的解集是
.
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