Question

【题目】已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（ ）
A.2
B.2
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，
|AC|+|AF|=2a，
由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，
由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，
可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，
由C（0，4），F（ ，0），可得A（ ，2），
代入抛物线的方程可得，4=2p ，解得p=2 ，
即有a= + = ，A（ ，2），
可得C到直线OA：y=2 x的距离为d= = ，
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2 = ．
故选：C．
求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．