Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|（{k∈R}）有三个不同的零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （1，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 把函数的零点转化为两个函数图象交点的横坐标，由题意画出图形，数形结合得到实数k的取值范围．

解答 解：如图，
函数f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|的零点，就是方程$\frac{1}{x+2}$-k|x|=0的根，
也就是函数$y=\frac{1}{x+2}$与函数$y=k|x|=\left\{\begin{array}{l}{kx，x≥0}\\{-kx，x＜0}\end{array}\right.$图象交点的横坐标．
若k=0，则y=k|x|=0，函数$y=\frac{1}{x+2}$与y=0无交点；
若k＜0，则当x＞0时，y=kx与$y=\frac{1}{x+2}$无交点，不合题意；
当k＞0时，y=kx与$y=\frac{1}{x+2}$右支有一个交点，
再由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x+2}}\\{y=-kx}\end{array}\right.$，得kx²+2kx+1=0，由△=4k²-4k=0，得k=1．
由图可知，当k＞1时y=-kx与$y=\frac{1}{x+2}$左支有两个交点．
∴使函数f（x）=$\frac{1}{x+2}$-k|x|（{k∈R}）有三个不同的零点的实数k的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了函数的零点和方程根的关系，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．