Question

2．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$、$\overrightarrow{{x}_{2}}$、$\overrightarrow{{x}_{3}}$、$\overrightarrow{{x}_{4}}$、$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$、$\overrightarrow{{y}_{2}}$、$\overrightarrow{{y}_{3}}$、$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成．记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值．则下列所给4个命题中，所有正确的命题的序号是①②④．
①S有3个不同的值；
②若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min|$\overrightarrow{a}$|无关；
③若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；
④若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=8|$\overrightarrow{a}$|²，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意分别讨论S中含有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的对数，得到S的本题值，然后分析最小值，得到选项．

解答 解：有零对$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$时，S₁=2$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+3|\overrightarrow{b}{|}^{2}$；
有两对$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$时，S₂=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
有四对$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$时，S₃=$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴S有3个不同的值；
又∵S₁-S₂=$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$，S₂-S₃=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}$²，
∴S₁＞S₂＞S₃；
S_min=${S}_{3}=|\overrightarrow{b}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$；
∴当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则S_min与$|\overrightarrow{a}|$无关；S_min与$|\overrightarrow{b}|$有关；
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，当$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|$时，S_min=S₃=$|\overrightarrow{b}{|}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$4|\overrightarrow{a}{|}^{2}+8|\overrightarrow{a}|cosθ=\frac{1}{2}$；
∴$cosθ=\frac{1}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了对新定义问题的理解、平面向量的数量积的运用；属于难题．