Question

1．已知一次函数f（x）=2x+b，幂函数g（x）=x^a，且知函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），函数$\frac{f（x）}{g（x）}$的图象过（$\sqrt{2}$，1），若函数h（x）=（（g（x））${\;}^{\frac{1}{3}}$•（$\frac{1}{2}$f（x））${\;}^{-\frac{1}{3}}$．
（1）证明函数h（x）为幂函数．
（2）判断函数h（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），即f（1）g（1）=2，即可解得b值，利用函数$\frac{f（x）}{g（x）}$的图象过（$\sqrt{2}$，1），可解得a值，从而确定函数f（x）、g（x）的解析式，由此能证明函数h（x）为幂函数．
（2）由h（x）的解析式，利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．

解答 （1）证明：∵一次函数f（x）=2x+b，幂函数g（x）=x^a，
且知函数f（x）•g（x）的图象过（1，2），函数$\frac{f（x）}{g（x）}$的图象过（$\sqrt{2}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（2+b）•{1}^{a}=2}\\{\frac{2\sqrt{2}+b}{（\sqrt{2}）^{a}}=1}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=0，
∴f（x）=2x，g（x）=x³，
∴h（x）=（（g（x））${\;}^{\frac{1}{3}}$•（$\frac{1}{2}$f（x））${\;}^{-\frac{1}{3}}$
=（x³）${\;}^{\frac{1}{3}}$•x${\;}^{-\frac{1}{3}}$=${x}^{\frac{2}{3}}$（x≠0）．
∴函数h（x）为幂函数．
（2）解：∵h（x）=（（g（x））${\;}^{\frac{1}{3}}$•（$\frac{1}{2}$f（x））${\;}^{-\frac{1}{3}}$
=$\root{3}{{x}^{2}}$（x≠0），
∴h（x）的定义域为{x|x≠0}，
且$h（-x）=\root{3}{（-x）^{2}}$=$\root{3}{{x}^{2}}$=h（x），
∴函数h（x）是偶函数．

点评 本题主要考查了函数图象与函数解析式间的关系，函数奇偶性的定义，函数奇偶性的判断方法，属中档题．