Question

16．已知：关于x的不等式a（x+3）＞b（x+2）的解集是（-1，+∞），求a，b的关系式，并解关于y的不等式：ay²-（2a+3b）y+4（a+b）＜0．

Answer 1

分析 由已知中关于x的不等式a（x+3）＞b（x+2）的解集是（-1，+∞），可得b=2a＜0，分析函数f（y）=ay²-（2a+3b）y+4（a+b）的图象和性质，可得关于y的不等式：ay²-（2a+3b）y+4（a+b）＜0的解集．

解答 解：不等式a（x+3）＞b（x+2）可化为：
（a-b）x＞2b-3a，
当a-b＞0时，不等式的解集为：（$\frac{2b-3a}{a-b}$，+∞），
当a-b＜0时，不等式的解集为：（-∞，$\frac{2b-3a}{a-b}$），
∵不等式a（x+3）＞b（x+2）的解集是（-1，+∞），
∴a-b＞0且$\frac{2b-3a}{a-b}$=-1，
即b=2a＜0，
此时函数f（y）=ay²-（2a+3b）y+4（a+b）=a（y²-8y+12）的图象是开口朝下，且与横轴交于（2，0），（6，0）点的抛物线，
故ay²-（2a+3b）y+4（a+b）＜0的解集为：（-∞，2）∪（6，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，一次不等式和二次不等式的解法，是函数与不等式的综合应用，难度中档．