Question

12．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为$\sqrt{2}$．且过点（2，-$\sqrt{3}$）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若点M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在双曲线上，求证：MF₁⊥MF₂．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程；
（2）先求出 $\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的解析式，把M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入双曲线，可得出$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$═0，即可证明．

解答 解：（1）∵离心率e=$\sqrt{2}$，
∴设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0），
则由点（2，-$\sqrt{3}$）在双曲线上，
知λ=4-（-$\sqrt{3}$）²=1，
∴双曲线方程为x²-y²=1；
（2）证明：若点M（m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在双曲线上，
则m²-$\frac{1}{2}$=1∴m²=$\frac{3}{2}$，
由双曲线x²-y²=1知F₁（$\sqrt{2}$，0），F₂（-$\sqrt{2}$，0），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（$\sqrt{2}$-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{2}$-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=m²-2+$\frac{1}{2}$=0，
故MF₁⊥MF₂．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．