Question

10．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中所有的二次项系数之和为1024，则展开式中的常数项是144．

Answer 1

分析 依题意得，由二项式系数和2ⁿ=1024，求得n的值，求出展开式的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．

解答 解：依题意得，由二项式系数和2ⁿ=1024，解得n=10；
由于展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{10}^{r}•{2}^{r}•{x}^{5-\frac{5}{2}r}$
令5-$\frac{5}{2}$r=0，解得r=2，
∴展开式中的常数项为${C}_{10}^{2}•{2}^{2}$=144．
故答案为：144．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．