题目内容
【题目】如图，已知圆锥的顶点为
，底面圆心为
，半径为2，母线长为
（1）求该圆锥的体积；
（2）已知
为圆锥底面的直径，
为底面圆周上一点，且
，
为线段
的中点，求异面直线
与
所成的角的大小.
【答案】（1）
.（2）
.
【解析】
（1）由题可知，
，
，根据勾股定理求得
，则圆锥的高
，再根据圆锥的体积公式计算，即可求出圆锥的体积；
（2）法一：联结
，由
是
的中点，
为线段
的中点，根据三角形中位线的性质可得出
，所以异面直线
与
所成的角就是直线
与所成的角，根据条件得
，
，求得
，则
为等边三角形，即
，即可得出结果；
法二：以为坐标原点，以
为
轴、
轴、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求得
，
，根据空间向量法求异面直线的夹角公式，即可求得异面直线与所成的角.
（1）解：如图，由题意得，
，
在
中，
，
即该圆锥的高
，
由圆锥的体积公式得：
，
即该圆锥的体积为.
（2）解法1：联结，如图所示，
由于为圆锥底面的直径，是的中点，
而为线段的中点，则，
所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
因为，，
所以
，
，
在中，，
所以为等边三角形，即，
因此异面直线与所成的角的大小为.
解法2：以为坐标原点，以为轴、轴、轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得
，
，
，
，
，
因为为线段的中点，得
，
所以，，
设异面直线与所成的角为
，向量
与
的夹角为
，
则
，
又
，所以
，
即异面直线与所成的角的大小为.
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