题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为2,过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线
的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.
【答案】(1);(2)证明见解析,
.
【解析】
(1)根据题意列方程组,求解
,
,即可.
(2)设,
因为直线
的斜率不为零,令
的方程为:
,与椭圆方程联立,得到
,
,由题意可知,
,则
,确定
的方程,由椭圆的对称性,则定点必在
轴上,所以令
,求解
,即可.
(1)由题知 , 解得
,
,
所以椭圆的方程为
;
(2)设,
因为直线
的斜率不为零,令
的方程为:
,
由 得
,
则,
,
因为以为直径的圆与直线
的另一个交点为
,所以
,则
,
则,故
的方程为:
,
由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令
,则
,
而,
,
,
所以,
故直线恒过定点,且定点为
.
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