题目内容

函数f(x)=min{2
x
,|x-2|
},其中min{a,b}=
a,a≤b
b,a>b
,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,它们的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1•x2•x3的最大值为(  )
A.1B.2C.3D.4
作出函数f(x)的图象如下图所示:
y=2
x
y=|x-2|
,解得A(4-2
3
,2
3
-2),
由图象可得,当直线y=m与f(x)图象有三个交点时m的范围为:0<m<2
3
-2.
不妨设0<x1<x2<2<x3
则由2
x1
=m得x1=
m2
4
,由|x2-2|=2-x2=m,
得x2=2-m,由|x3-2|=x3-2=m,
得x3=m+2,且2-m>0,m+2>0,
∴x1•x2•x3=
m2
4
•(2-m)•(2+m)=
1
4
•m2•(4-m2)≤
1
4
•[
m2+4-m2
2
]2=
1
4
×4=1

当且仅当m2=4-m2
即m=
2
时取得等号,
∴x1•x2•x3存在最大值为1.
故选A.
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