题目内容
【题目】如图，在三棱柱中
，侧面
底面
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
（1）求证：直线
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点
，根据线线平行证线面平行，再根据线面平行得面面平行，最后根据面面平行得结果，（2）先根据条件得
，
，
两两垂直，再建立空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解得各面法向量，再根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果.
（1）证明：取的中点，连接
，
，由于
，
分别为
，
的中点，所以
.又
平面
，
平面，所以
平面.又
且
，
所以四边形
是平行四边形.
则
，又
平面，
平面，
所以
平面.
所以平面
平面.又
平面
，
所以直线
平面
（2）解：令
，
由于为中点，则
，又侧面
底面
，交线为，
平面
，则
平面，连接，可知，，两两垂直.以为原点，分别以，，所在直线为
，
，
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
所以
，
，
令平面
的法向量为
，
由
则
令
，则
.
令平面
的法向量为
，
由
则
令
，则
由
，故二面角
的余弦值为.
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