题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)若有两个极值点,,求证:.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)根据不等式构造函数,通过函数的导数,对a分类讨论,分别求解函数的单调性及极值,求出满足条件的实数a的取值范围.
(2)求出x1x2,只需证明,不妨设x1>x2,只需证明,令t(t>1),原不等式转化为lnt,结合(1)利用不等式的传递性证明即可.
(1)令,,,
令,
当时,,且对称轴,
所以当时,,在上单调递增,
所以恒成立,
当时,,可知必存在区间,使得,
当时,有,即在上单调递减,由于,此时不合题意,综上;
(2),令在有两个不同的零点,
,若,则,不合题意;
若,设两个零点分别为,则,
可得,
要证,即证,
即证,即证,
即证,即证,
令,即证
由(1)可得时,,
只需证,即证,
故原不等式得证.
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