题目内容
【题目】已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若有两个不同的零点，求
的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论
，
，
，
，可求得
的单调性
（2）由（1）求得在，，，时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数
的取值范围。
解析：（1）
①，
，
，
，单调递增；
，
，单调递减
②，
或
，当
，，单调递减；
，，单调递增；
，，单调递减
③，
，在
单调递减
④，或，当
，，单调递减；
，，单调递增；
，，单调递减
（2）由（1）得当
时，
在定义域上只有一个零点
，由（1）可得，要使有两个零点，则
∴
下证有两个零点
取
，
，满足
，故在
有且只有一个零点
，满足
，故在
有且只有一个零点
当时，由（1）可得，
，故在无零点，
又因为在单调递减，
∴在至多一个零点，不满足条件
当时，
，
故在
上无零点，
又因为在
单调递减，∴在至多一个零点，不满足条件
∴满足条件的取值范围
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