题目内容
【题目】如图所示,将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中,已知
,点
是三角板内一点,现因三角板中,阴影部分受到损坏,要把损坏部分锯掉,可用经过点
的任一直线
将三角板锯成
,设直线
的斜率为
.
(1)用表示出直线
的方程,并求出点
的坐标;
(2)求出的取值范围及其所对应的倾斜角
的范围;
(3)求面积的取值范围.
【答案】(1)MN方程为:,
,
;(2)
,
;(3)
【解析】
(1)先利用点斜式得出直线的方程,再得直线OA方程为:y=x ,直线AB方程为:x=1,分别与直线MN的方程联立即可得出;
(2)
(3)利用三角形的面积计算公式可得S△AMN,通过换元利用导数即可得出其单调性最值,进而得出区间D;
(1)依题意,得MN方程为:,即
,
∵AB⊥OB,|AB|=|OB|=1,∴直线OA方程为:y=x ,直线AB方程为:x=1,
联立 ,得
.
联立,得
.
(2)由(1)知:,∴k>1或k≤
,且
,得k≥
,∴
.
∵直线的倾斜角,且
,∴
.
(3)在中,由(2)知:
S△AMN==
.
设,设
.∵
,
∴f(t)在是单调递增.∴当
时,
,即当1﹣k=
时即k=
时,(S△)max=
当时,
,即当1﹣k=
时即k=
时,(S△)min=
,
面积的取值范围
.
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