题目内容
1.(1)设实数x,y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}|{x+y-6}|≤2\\ y≤2x+4≤4y+4\end{array}\right.$,作出不等式组表示的平面区域,并求当a>0时,z=y-ax的最大值;(2)若关于x的不等式组$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{({{2^n}+1})}^2}}}≤\frac{2}{9}$对任意n∈N*恒成立,求所有这样的解x构成的集合.
分析 (1)作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+z斜率的变化,从而求出a的取值.
(2)将$\frac{{2}^{n}}{{({2}^{n}+1)}^{2}}$的分子分母同除2n,结合“对勾函数“的单调性,求出$\frac{{2}^{n}}{{({2}^{n}+1)}^{2}}$=$\frac{1}{({2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}})+2}$∈(0,$\frac{2}{9}$],进而将恒成立问题转化为最值问题后,可得${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$,解方程可得答案.
解答 解:(1)不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x+y-6≥-2}\\{x+y-6≤2}\\{y≤2x+4}\\{2x+4≤4y+4}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≥0}\\{x+y-8≤0}\\{y≤2x+4}\\{x≤2y}\end{array}\right.$,
作出不等式组对应的平面区域,
由z=y-ax得y=ax+z,直线与y轴交点的纵坐标为z,
平移直线y=ax+z,
由图象可知在点B(0,2)处,zmax=2,
当0<a≤2时,在点B处,直线y=ax+z的截距最大,此时z最大,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-8=0}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$,即B($\frac{4}{3}$,$\frac{20}{3}$),
zmin=$\frac{20}{3}$-$\frac{4}{3}$a.
当a>2时,在点A(0,4)处,直线y=ax+z的截距最大,此时z最大,
zmax=4.
(2)若$0≤{x^2}+\frac{7}{9}x-\frac{2^n}{{{{({2^n}+1)}^2}}}<\frac{2}{9}$对任意n∈N*恒成立,
即$\frac{{2}^{n}}{{({2}^{n}+1)}^{2}}-\frac{2}{9}≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}<\frac{{2}^{n}}{{({2}^{n}+1)}^{2}}$对任意n∈N*恒成立,
∵$\frac{{2}^{n}}{{({2}^{n}+1)}^{2}}$=$\frac{1}{({2}^{n}+\frac{1}{{2}^{n}})+2}$∈(0,$\frac{2}{9}$]
故$0≤{x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}≤0$
即${x}^{2}+\frac{7}{9}x-\frac{2}{9}=0$
解得x=-1或x=$\frac{2}{9}$
故所有这样的解x的集合是$\{-1,\frac{2}{9}\}$.
点评 本题主要考查线性规划以及不等式恒成立问题,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.
A. | (x-1)2+(y+1)2=1 | B. | (x+2)2+(y-2)2=1 | C. | (x+1)2+(y-1)2=1 | D. | (x-2)2+(y+2)2=1 |
A. | (2,-$\frac{π}{3}$) | B. | (2,$\frac{π}{3}$) | C. | (2,$\frac{2π}{3}$) | D. | (2,2kπ+$\frac{π}{3}$)(k∈Z) |