题目内容
6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$，若方程f（x）=m有四个不同的实数根，由小到大依次为x1，x2，x3，x4，则4x1+x2+x3+x4的取值范围是[12，13）．分析 作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$的图象，从而可得x1x2=1，x3+x4=8；从而由基本不等式确定的取值范围．
解答 解：作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{log_3}x|，0＜x≤3\\{（x-4）^2}，x＞3\end{array}\right.$的图象如下，
由题意知，
x1x2=1，x3+x4=8；
4x1+x2≥2$\sqrt{4}$=4，
（当且仅当4x1=x2，即4x1=x2=2时，等号成立）；
故4x1+x2+x3+x4≥12，
且4x1+x2+x3+x4＜13；
故答案为：[12，13）．
点评 本题考查了分段函数的应用及基本不等式的应用，属于中档题．
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