题目内容
11．在锐角△ABC中，交A、B、C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$．（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．
分析 （Ⅰ）根据正弦定理化简已知的式子求出sinC，再由锐角三角形的特征求出角C的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理和条件可得7=a2+b2-ab，利用三角形的面积公式和条件求出ab和a2+b2的值，由完全平方公式即可求出a+b的值．
解答 解：（Ⅰ）由题意知，$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，
根据正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{2c}{\sqrt{3}}$，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC，
则7=a2+b2-ab，即ab=a2+b2-7，①
∵△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab，
解得ab=6，代入①可得a2+b2=13，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，则a+b=5．
点评 本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及整体代换的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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如图所示，分别以A，B，C为圆心，在△ABC内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC内任取一点P，如果点P落在阴影内的概率为$\frac{1}{3}$，那么△ABC的面积是6π．
2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都与圆（x-c）2+y2=ac（c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$相切，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | C． | 2 | D． | $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ |
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
| A． | $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ | B． | 2$\sqrt{6}$ | C． | $\frac{4\sqrt{7}}{3}$ | D． | 4$\sqrt{7}$ |
16．设i是虚数单位，若复数$z=\frac{{{a^2}+ai}}{1-i}＞0$，则a的值为（ ）
| A． | 0或-1 | B． | 0或1 | C． | -1 | D． | 1 |
如图，已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=OC=4，OB=3．
20．
如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为（ ）
如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的动点，且满足$\overrightarrow{AE}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=n$\overrightarrow{AC}$，其中m，n∈（0，1），m+n=1，M，N分别是EF，BC的中点，则|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D． | $\frac{5}{3}$ |