题目内容
【题目】已知f(x)是R上的奇函数,且当x∈[0,+∞)时, . (Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)运用函数单调性定义证明f(x)在定义域R上是增函数.
【答案】解:(Ⅰ)设x∈(﹣∞,0), 则﹣x∈(0,+∞),
∵当x∈[0,+∞)时,f(x)=
∴f(﹣x)= ,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
即f(﹣x)= =﹣f(x),
∴f(x)=﹣ ,x∈(﹣∞,0),
∴f(x)= .
(Ⅱ)∵f(x)是R上的奇函数,
∴只需要证明函数f(x)在[0,+∞)上单调递增即可,
设x2>x1≥0,
则 ,
∵x2>x1≥0,
∴x2﹣x1>0, ,
即 >0,
∴f(x2)>f(x1),即函数在[0,+∞)上单调递增,
∴f(x)在定义域R上是增函数
【解析】(Ⅰ)根据函数奇偶性的性质即可求f(x)的解析式;(Ⅱ)根据函数单调性定义证明f(x)在定义域R上是增函数.
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇即可以解答此题.
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