Question

【题目】已知函数f（x）=a﹣ ．
（1）求证：函数f（x）在R上为增函数；
（2）当函数f（x）为奇函数时，求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于函数f（x）=a﹣ ，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=a﹣ ﹣a+ = ，

因为x1＜x2，所以 ﹣ ＜0，而分母（1+ ）（1+ ）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，

所以函数f（x）在R上为增函数

（2）解：因函数f（x）在x=0有意义，又函数f（x）为奇函数，则f（0）=a﹣ =0，∴a= ，f（x）= ﹣ ，

由（1）可知f（x）在[﹣1，2]是单调递增的，易得 ， ，

即f（x）的值域是 ．

【解析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在R上为增函数．（2）利用f（0）=0求得a的值，再根据f（x）在[﹣1，2]是单调递增的，从而求得函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．
【考点精析】利用函数单调性的判断方法和函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．