题目内容
【题目】如图所示,正三棱柱的底面边长为2,
是侧棱
的中点.
(1)证明:平面平面
;
(2)若平面与平面
所成锐角的大小为
,求四棱锥
的体积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)要证平面平面
,转证
平面
,又
,即证
平面
.(2)建立空间坐标系,由平面
与平面
所成锐角的大小为
,得到
,进而得到四棱锥
的体积.
试题解析:
解:(1)如图①,取的中点
,
的中点
,连接
,易知
又,∴四边形
为平行四边形,∴
.
又三棱柱是正三棱柱,
∴为正三角形,∴
.
又平面
,
,而
,
∴平面
.
又,
∴平面
.
又平面
,
所以平面平面
(2)(方法一)建立如图①所示的空间直角坐标系,
设,则
,得
.
设为平面
的一个法向量.
由得
即.
显然平面的一个法向量为
,
所以
,
即.
所以.
(方法二)如图②,延长与
交于点
,连接
.
∵,
为
的中点,∴
也是
的中点,
又∵是
的中点,∴
.
∵平面
,∴
平面
.
∴为平面
与平面
所成二面角的平面角.
所以,∴
.
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