题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.
、
是椭圆
的右顶点与上顶点,直线
与椭圆相交于
、
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当四边形面积取最大值时,求
的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
=2.
【解析】试题分析:(1)利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解;(2)设
,联立直线与椭圆方程,得到
的横坐标,求出点
到直线
的距离,得到四边形面积关于
的表达式,再利用基本不等式进行求解.
试题解析:(Ⅰ)由题意知: =
,
.
又圆与直线
相切,
,
,
故所求椭圆的方程为
.
(Ⅱ)设,其中
,
将代入椭圆的方程
整理得:
,
故.①
又点到直线
的距离分别为
,
,
所以四边形的面积为
,
当,即当
时,上式取等号,所以当四边形
面积的最大值时,
.
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