题目内容
【题目】已知函数f(x)=﹣x2+2ex+m﹣1,g(x)=x+ (x>0).
(1)若y=g(x)﹣m有零点,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)﹣f(x)=0有两个相异实根.
【答案】
(1)解:∵g(x)=x+ ≥2 =2e;
(当且仅当x= ,即x=e时,等号成立)
∴若使函数y=g(x)﹣m有零点,
则m≥2e;
故m的取值范围为[2e,+∞)
(2)解:令F(x)=g(x)﹣f(x)
=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,
F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);
故当x∈(0,e)时,F′(x)<0,x∈(e,+∞)时,F′(x)>0;
故F(x)在(0,e)上是减函数,在(e,+∞)上是增函数,
故只需使F(e)<0,
即e+e+e2﹣2e2﹣m+1<0;
故m>2e﹣e2+1
【解析】(1)由基本不等式可得g(x)=x+ ≥2 =2e,从而求m的取值范围;(2)令F(x)=g(x)﹣f(x)=x+ +x2﹣2ex﹣m+1,求导F′(x)=1﹣ +2x﹣2e=(x﹣e)( +2);从而判断函数的单调性及最值,从而确定m的取值范围.
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