Question

【题目】已知数列满足记数列的前项和为，

（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；

（2）求；

（3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）当为偶数时， 都成立，（3）详见解析

【解析】试题分析：（1），所以为等比数列，又 ，所以；（2） ，所以 ，分奇偶讨论，当为奇数时，可令，当为偶数时，可令；（3），当 为偶数时， 成立 .

试题解析：

因为

，

即 ，所以。

（2） ，所以 ，

当为奇数时，可令

则

，

当为偶数时，可令

则

；

（3）假设存在正整数 ，使得 成立，

因为 ， ，

所以只要

即只要满足 ①： ，和②： ，

对于①只要 就可以；

对于②，

当 为奇数时，满足 ，不成立，

当 为偶数时，满足，即

令 ，

因为

即 ，且当 时， ，

所以当 为偶数时，②式成立，即当 为偶数时， 成立 .