Question

【题目】已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程
（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量 （O为坐标原点），求实数k．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2

因为直线相切，圆心到直线的距离d= ，

且圆心与切点连线与直线l垂直

则： 可得a=0，r= ，

所以圆的方程为：x2+y2=2．

（II）直线与圆联立： ，

得：（1+k2）x2+6kx+7=0，

△=8k2﹣28＞0，解得．k 或k ，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则： ， ，

，

将M代入圆方程：（x +x2）2+（y1+y2）2=2，

，

求得k=

【解析】（Ⅰ）根据直线与圆相切的位置关系d= r 以及直线垂直斜率之积等于-1可求出a=0，r= ，进而得到圆的方程。
（II）由题意该直线与圆相交于A、B两点联立直线与圆的方程可得△＞0求出k的取值范围；再根据韦达定理得出与的表达式，代入圆的方程正理即得k的值，根据k的取值范围两个值全要。