Question

【题目】为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4﹣ （k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．
（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知t=0时，x=1（万件），

∴1=4﹣k，得k=3，

从而x=4﹣ ，又每件产品的销售价格为1.5× 元，

∴2016年的利润为y=1.5× ×x﹣（6+12x+t）=3+6x﹣t=27﹣ ﹣t（t≥0）；

（2）设2t+1=m（m≥1），由（1）得，y= ﹣（ + ），

∵m≥01时， + ≥2 =6，

∴y≤ ，

当且仅当 = ，即m=6，t=2.5（万元）时取等号，此时，ymax= （万元）．

答：该厂家2016年的促销费用投入2.5万元时，厂家的利润最大，最大值为 万元．

【解析】（1）不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，可求k的值，确定每件产品的年销量价格，结合厂家将每件产品的销售价格定位每件产品年平均成本的1.5倍，即可求得函数的解析式，（2）利用基本不等式，即可求得最值.