题目内容
【题目】已知函数f(x)=log .
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域.
【答案】
(1)解:函数f(x)=log .
定义域需满足: ,即﹣x2+2x+8>0
解得:﹣2<x<4
∴f(x)的定义域为{x|﹣2<x<4}
(2)解:设u=﹣x2+2x+8,对数的底数小于1,根据性质可知,函数f(x)= 是减函数,
函数u=﹣x2+2x+8=﹣(x+1)2+9,t=
∴0<u≤9
∴0<t≤3,
∵f(x)= 在(0,+∞)减函数,
∴f(x)的值域是[ ,+∞)
【解析】(1)由真数大于零即不等式即可得到函数的定义域。(2)利用复合函数的性质结合二次函数的最值情况即可得出函数的值域。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识,掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零,以及对函数的值域的理解,了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的.
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