题目内容
【题目】已知是定义在
上的奇函数,且
,若对任意的m,
,
,都有
.
若
,求a的取值范围.
若不等式
对任意
和
都恒成立,求t的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由函数的单调性的定义,构造出f(x)在定义域[﹣5,5],上是增函数,通过增函数性质解不等式得a的取值范围;
(2)由f(x)单调递增且奇函数,利用其最大值整理得关于a,t 的不等式,由a∈[﹣3,0]都恒成立,根据单调性可以求t的取值范围.
解:设任意x1,x2满足﹣5≤x1<x2≤5,由题意可得:
f(x1)﹣f(x2)即f(x1)<f(x2).所以f(x)在定义域[﹣5,5],上是增函数,
由f(2a﹣1)<f(3a﹣3),得,解得2<a
,
故a的取值范围为(2,];
(2)由以上知f(x)是定义在[﹣5,5]上的单调递增的奇函数,且f(﹣5)=﹣2,
得在[﹣5,5]上f(x)max=f(5)=﹣f(﹣5)=2.
在[﹣5,5]上不等式f(x)≤(a﹣2)t+5对a∈[﹣3,0]都恒成立,
所以2≤(a﹣2)t+5即at﹣2t+3≥0,对a∈[﹣3,0]都恒成立,
令g(a)=at﹣2t+3,a∈[﹣3,0],则只需,即
.
解得t
故t的取值范围(﹣∞,].
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