Question

18．已知A={y|y=x²-6x+10}，B={y|y=ax²-2x+a}，若A⊆B，则a的范围是[0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．

Answer 1

分析 先解出集合A={y|y≥1}，根据A⊆B，需判断函数y=ax²-2x+a为一次函数还是二次函数，从而需讨论a：a=0，便可得出y=-2x∈R，显然满足A⊆B；而a≠0时，前面函数为二次函数，要满足A⊆B，容易得到$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{4{a}^{2}-4}{4a}≤1}\end{array}\right.$，解出该不等式组并合并a=0即可得出a的范围．

解答 解：y=x²-6x+10=（x-3）²+1≥1；
∴A={y|y≥1}；
∵A⊆B；
①若a=0，y=-2x，∴B=R，满足A⊆B；
②若a≠0，则a应满足：
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{4{a}^{2}-4}{4a}≤1}\end{array}\right.$；
解得$0＜a≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴a的范围为：[0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．
故答案为：[0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$]．

点评 考查描述法表示集合，配方求二次函数值域的方法，子集的概念，不要漏了a=0的情况，并可结合二次函数的图象．