题目内容
【题目】已知椭圆
的四个顶点组成的四边形的面积为
，且经过点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）若椭圆
的下顶点为
，如图所示，点
为直线
上的一个动点，过椭圆
的右焦点
的直线
垂直于
，且与
交于
两点，与交于点
，四边形
和
的面积分别为
．求
的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
试题分析：（1）由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形，其面积为
，又
在椭圆
上，所以
，解方程组得
（2）先确定面积计算方法：
，
，再确定计算方向：设
根据两点间距离公式求OM，根据两直线交点求N点横坐标，再根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理求弦长AB，最后根据
表达式形式，确定求最值方法（基本不等式求最值）
试题解析：（1）因为在椭圆上，所以，
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为
，所以，
解得，所以椭圆
的方程为．
（2）由（1）可知
，设
，
则当
时，
，所以
，
直线
的方程为
，即
，
由
得
，
则
，
，
，
又
，所以
，
由
，得
，所以
，
所以
，
当
时，直线
，
所以当时，
．
练习册系列答案
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【题目】在一次文、理学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）.测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩为
，文综成绩为
，
为
，将值分组统计制成下表：
分组 | [0,20） | [20,40） | [40,60） | [60,80） | [80,100） | [100,120） | [120,140] |
频数 | 4 | 18 | 42 | 66 | 48 | 20 | 2 |
并将其中女生的值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）.
（1）若已知直方图中[60,80）频数为25，试分别估计全体学生中，
的男、女生人数；
（2）记的平均数为
，如果
称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年段女生的值（同一组中的数据用该组区间中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向.
