Question

【题目】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．

详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），

令x=﹣c，可得y=±=±，

可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），

又设D（0，b），可得=（c，b﹣），

=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），

由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，

即为0﹣（b﹣）＜0，

化为a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，

可得c2＜2a2，即e=＜，

又e＞1，可得1＜e＜，

可能△ADB中，∠ADB为钝角，可得＜0，

即为c2﹣（+b）（﹣b）＜0，

化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，

由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，

又e＞1，可得e＞．

综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．

故答案为：