Question

1．如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点，
（1）求直线BC与平面EAC所成角的正弦值；
（2）求B点到平面EAC的距离．

Answer 1

分析 （1）首先分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出图形上点的坐标．可设平面EAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$即可求出$\overrightarrow{n}$，设直线BC与平面EAC所成角为θ，由$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞|$即可求得答案．
（2）作BO⊥平面EAC，垂足为O，则根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{n}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$即可求出O点坐标，从而求出B点到平面EAC的距离为$|\overrightarrow{BO}|$．

解答 解：（1）根据已知条件知，AB，AD，AP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：

A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2），E（0，2，1）；
设平面EAC的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2{x}_{1}+4{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{z}_{1}=-2{y}_{1}}\\{{x}_{1}=-2{y}_{1}}\end{array}\right.$，取y₁=1，则$\overrightarrow{n}=（-2，1，-2）$；
$\overrightarrow{BC}=（0，4，0）$，设直线BC与平面EAC所成角为θ，则：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}＞$|=$\frac{4}{3×4}=\frac{1}{3}$；
∴直线BC与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{1}{3}$；
（2）过B作BO⊥平面EAC，垂足为O，设O（x，y，z），则：$\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}=0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-2，y，z）=k（-2，1，-2）}\\{-2x+y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2k}\\{y=k}\\{z=-2k}\\{-2x+y-2z=0}\end{array}\right.$；
∴-2（2-2k）+k-2（-2k）=0；
∴$k=\frac{4}{9}$；
∴$\overrightarrow{BO}=\frac{4}{9}（-2，1，-2）$；
∴$|\overrightarrow{BO}|=\frac{4}{3}$；
∴B点到平面EAC的距离为$\frac{4}{3}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角、空间点到一平面距离的问题的方法，平面法向量的概念，直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系，共线向量基本定理，线面垂直的性质，以及两非零向量垂直的充要条件．