Question

【题目】已知四棱锥的底面是正方形，底面.

（1）求证：直线平面；

（2）当的值为多少时，二面角的大小为？

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】分析：（1）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；（2）设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.

详解：（1）证明：∵平面，平面，∴，

∵四边形是正方形，∴，，∴平面.

（2）解：设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设，则，，，，

则，，.

设平面的法向量为，则，

令，则，，∴.

设平面的法向量为，，

令，又，则，∴.

要使二面角的大小为，必有，

∴，∴，∴.

即当时，二面角的大小为.