Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞1，若对任意x1 ， x2∈（0，+∞），恒有|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）= ，（x＞0），

a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，

a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得：x＞ ，

故函数f（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减

（2）

解：不妨设x1≤x2，而a＞1，

由（1）得：f（x）在（0，+∞）递增，

从而对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|

等价于x1，x2∈（0，+∞），f（x2）﹣4x2≥f（x1）﹣4x1①

令g（x）=f（x）﹣4x，则g′（x）= +2ax﹣4

① 等价于g（x）在（0，+∞）单调递增，即 +2ax﹣4≥0．

从而2a≥ = +4，∴a≥2

故a的取值范围为[2，+∞）

【解析】
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．