题目内容
【题目】已知直线是抛物线
的准线,直线
,且
与抛物线
没有公共点,动点
在抛物线
上,点
到直线
和
的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线
上运动,过点
做抛物线
的两条切线,切点分别为
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出定点
的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2) 存在定点
,使得
恒成立
【解析】试题分析:(Ⅰ)作分别垂直
和
,垂足为
,抛物线
的焦点为
,根据抛物线的定义可得
的最小值即为点
到直线
的距离,故
,从而可得结果;(Ⅱ)设
,
,
,
,利用导数得到切线斜率,可设出切线方程,根据点
在切线上可得到
和
是一元二次方程
的根,利用韦达定理以及平面向量数量积公式,可得
时
,从而可得结论.
试题解析:(Ⅰ)作分别垂直
和
,垂足为
,抛物线
的焦点为
,
由抛物线定义知,所以
,
显见的最小值即为点
到直线
的距离,故
,
所以抛物线的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的方程为
,当点
在特殊位置
时,显见两个切点
关于
轴对称,故要使得
,点
必须在
轴上.
故设,
,
,
,
抛物线的方程为
,求导得
,所以切线
的斜率
,
直线的方程为
,又点
在直线
上,
所以,整理得
,
同理可得,
故和
是一元二次方程
的根,由韦达定理得
,
,
可见时,
恒成立,
所以存在定点,使得
恒成立.
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练习册系列答案
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男生 | 女生 | 总计 | |
购买数学课外辅导书超过 | |||
购买数学课外辅导书不超过 | |||
总计 |
(Ⅰ)根据表格中的数据,是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关;
(Ⅱ)从购买数学课外辅导书不超过本的学生中,按照性别分层抽样抽取
人,再从这
人中随机抽取
人询问购买原因,求恰有
名男生被抽到的概率.
附: ,
.