题目内容
【题目】如图,一张坐标纸上已作出圆及点
,折叠此纸片,使
与圆周上某点
重合,每次折叠都会留下折痕,设折痕与直线
的交点为
,令点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与轨迹
交于
、
两点,且直线
与以
为直径的圆相切,若
,求
的面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
分析:(1)根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以
为焦点的椭圆,且
,可得
,
的轨迹
的方程为
;(2)
与以
为直径的圆
相切,则
到
的距离:
,即
, 由
,消去
,得
,由平面向量数量积公式可得
,由三角形面积公式可得
,换元后,利用单调性可得结果.
详解:(1)折痕为PP′的垂直平分线,则|MP|=|MP′|,由题意知圆E的半径为,
∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=>|EP|,
∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆,且,
∴,∴M的轨迹C的方程为
.
(2)与以EP为直径的圆x2+y2=1相切,则O到
的距离:
,即
,
由,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,
∵直线与椭圆交于两个不同点,
∴△=16k2m2﹣8(1+2k2)(m2﹣1)=8k2>0,k2>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,
又,∴
,∴
,
设μ=k4+k2,则,∴
,…10分∵S△AOB关于
单调递增,∴
,
∴△AOB的面积的取值范围是
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