Question

【题目】如图，一张坐标纸上已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若直线与轨迹交于、两点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

分析：（1）根据垂直平分线的性质可得的轨迹是以为焦点的椭圆，且，可得，的轨迹的方程为；（2）与以为直径的圆相切，则到的距离：，即， 由，消去，得，由平面向量数量积公式可得，由三角形面积公式可得，换元后，利用单调性可得结果.

详解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为，

∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=＞|EP|，

∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且，

∴，∴M的轨迹C的方程为．

（2）与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到的距离：

，即，

由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

∵直线与椭圆交于两个不同点，

∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，

y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，

又，∴，∴，

设μ=k4+k2，则，∴，…10分∵S△AOB关于单调递增，∴，

∴△AOB的面积的取值范围是