Question

【题目】设函数，已知曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求的值；

（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析: （1）由导数几何意义得切线斜率等于切点处导数值，列式，解方程组可得的值；（2）先化简，由题意得导数在不变号，由于单调性不确定，需分类讨论，而两种情形都需利用变量分离法，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，结合导数研究新函数变化趋势，确定函数最值取法，进而确定实数的取值范围.
试题解析:解：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，

又，即，所以.

（2）由（1）知，，

所以，

若在上为单调递减函数，则在上恒成立，

即，所以，

令，则，

由，得，，得，

故函数在上是减函数，在上是增函数，

则，无最大值，在上不恒成立，

故在不可能是单调减函数，

若在上为单调递增函数，则在上恒成立，

即，所以，由前面推理知，的最小值为1，

∴，故的取值范围是.