题目内容

已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-
3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于B,C两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线BC的方程.
解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
,c为半焦距.
∵右顶点为D(2,0),左焦点为F(-
3
,0)

∴a=2,c=
3
b2=a2-c2=22-(
3
)2=1

∴该椭圆的标准方程为
x2
4
+y2=1

(2)设点P(x0,y0),线段PA的中点M(x,y).
由中点坐标公式可得
x=
x0+1
2
y=
y0+
1
2
2
,解得
x0=2x-1
y0=2y-
1
2
.(*)
∵点P是椭圆上的动点,∴
x20
4
+
y20
=1

把(*)代入上式可得
(2x-1)2
4
+(2y-
1
2
)2=1
,可化为(x-
1
2
)2+
(y-
1
4
)2
1
4
=1

即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆(x-
1
2
)2+
(y-
1
4
)2
1
4
=1

(3)①当直线BC的斜率不存在时,可得B(0,-1),C(0,1).
∴|BC|=2,点A(1,
1
2
)
到y轴的距离为1,∴S△ABC=
1
2
×2×1
=1;
②当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx,B(x1,y1),C(-x1,-y1)(x1<0).
联立
y=kx
x2+4y2=4
,化为(1+4k2)x2=4.解得x1=-
2
1+4k2

y1=-
2k
1+4k2

∴|BC|=
4
x21
+4
y21
=2
(-
2
1+4k2
)2+(-
2k
1+4k2
)2
=
4
1+k2
1+4k2

又点A到直线BC的距离d=
|k-
1
2
|
1+k2

S△ABC=
1
2
|BC|×d
=
1
2
×
4
1+k2
1+4k2
|k-
1
2
|
1+k2
=
|2k-1|
1+4k2

S2△ABC
=
(2k-1)2
1+4k2
=1-
4k
1+4k2

令f(k)=
4k
1+4k2
,则f(k)=
-16(k+
1
2
)(k-
1
2
)
(1+4k2)2

令f′(k)=0,解得k=±
1
2
.列表如下:

又由表格可知:当k=-
1
2
时,函数f(x)取得极小值,即
S2△ABC
取得最大值2,即S△ABC=
2

而当x→+∞时,f(x)→0,
S2△ABC
→1.
综上可得:当k=-
1
2
时,△ABC的面积取得最大值
2
,即S△ABC=
2
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