题目内容
已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-
,0),右顶点为D(2,0),设点A(1,
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于B,C两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线BC的方程.
3 |
1 |
2 |
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于B,C两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线BC的方程.
解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为
+
=1,c为半焦距.
∵右顶点为D(2,0),左焦点为F(-
,0),
∴a=2,c=
,b2=a2-c2=22-(
)2=1.
∴该椭圆的标准方程为
+y2=1.
(2)设点P(x0,y0),线段PA的中点M(x,y).
由中点坐标公式可得
,解得
.(*)
∵点P是椭圆上的动点,∴
+
=1.
把(*)代入上式可得
+(2y-
)2=1,可化为(x-
)2+
=1.
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆(x-
)2+
=1.
(3)①当直线BC的斜率不存在时,可得B(0,-1),C(0,1).
∴|BC|=2,点A(1,
)到y轴的距离为1,∴S△ABC=
×2×1=1;
②当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx,B(x1,y1),C(-x1,-y1)(x1<0).
联立
,化为(1+4k2)x2=4.解得x1=-
,
∴y1=-
.
∴|BC|=
=2
=
.
又点A到直线BC的距离d=
.
∴S△ABC=
|BC|×d=
×
=
,
∴
=
=1-
,
令f(k)=
,则f′(k)=
.
令f′(k)=0,解得k=±
.列表如下:
又由表格可知:当k=-
时,函数f(x)取得极小值,即
取得最大值2,即S△ABC=
.
而当x→+∞时,f(x)→0,
→1.
综上可得:当k=-
时,△ABC的面积取得最大值
,即S△ABC=
.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∵右顶点为D(2,0),左焦点为F(-
3 |
∴a=2,c=
3 |
3 |
∴该椭圆的标准方程为
x2 |
4 |
(2)设点P(x0,y0),线段PA的中点M(x,y).
由中点坐标公式可得
|
|
∵点P是椭圆上的动点,∴
| ||
4 |
y | 20 |
把(*)代入上式可得
(2x-1)2 |
4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(y-
| ||
|
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆(x-
1 |
2 |
(y-
| ||
|
(3)①当直线BC的斜率不存在时,可得B(0,-1),C(0,1).
∴|BC|=2,点A(1,
1 |
2 |
1 |
2 |
②当直线BC的斜率存在时,设直线BC的方程为y=kx,B(x1,y1),C(-x1,-y1)(x1<0).
联立
|
2 | ||
|
∴y1=-
2k | ||
|
∴|BC|=
4
|
(-
|
4
| ||
|
又点A到直线BC的距离d=
|k-
| ||
|
∴S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
4
| ||
|
|k-
| ||
|
|2k-1| | ||
|
∴
S | 2△ABC |
(2k-1)2 |
1+4k2 |
4k |
1+4k2 |
令f(k)=
4k |
1+4k2 |
-16(k+
| ||||
(1+4k2)2 |
令f′(k)=0,解得k=±
1 |
2 |
又由表格可知:当k=-
1 |
2 |
S | 2△ABC |
2 |
而当x→+∞时,f(x)→0,
S | 2△ABC |
综上可得:当k=-
1 |
2 |
2 |
2 |
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