题目内容
如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
1 |
2 |
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
(1)当m=1时,y2=4x,则F1(-1,0),F2(1,0)
设椭圆方程为
+
=1(a>b>0),则c=1,又e=
=
,所以a=2,b2=3
所以椭圆C2方程为
+
=1(4分)
(2)因为c=m,e=
=
,则a=2m,b2=3m2,
设椭圆方程为
+
=1
由
,得3x2+16mx-12m2=0(6分)
即(x+6m)(3x-2m)=0,得xP=
代入抛物线方程得yP=
m,
即P(
,
)
|PF2|=xP+m=
,|PF1|=2a-|PF2|=4m-
=
,|F1F2|=2m=
,
因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3(8分)
此时抛物线方程为y2=12x,P(2,2
),直线PQ方程为:y=-2
(x-3).
联立
,得2x2-13x+18=0,即(x-2)(2x-9)=0,
所以xQ=
,代入抛物线方程得yQ=-3
,即Q(
,-3
)
∴|PQ|=
=
.
设M(
,t)到直线PQ的距离为d,t∈(-3
,2
)
则d=
=
|(t+
)2-
|(10分)
当t=-
时,dmax=
•
=
,
即△MPQ面积的最大值为
×
×
=
.(12分)
设椭圆方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
c |
a |
1 |
2 |
所以椭圆C2方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)因为c=m,e=
c |
a |
1 |
2 |
设椭圆方程为
x2 |
4m2 |
y2 |
3m2 |
由
|
即(x+6m)(3x-2m)=0,得xP=
2m |
3 |
2
| ||
3 |
即P(
2m |
3 |
2
| ||
3 |
|PF2|=xP+m=
5m |
3 |
5m |
3 |
7m |
3 |
6m |
3 |
因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3(8分)
此时抛物线方程为y2=12x,P(2,2
6 |
6 |
联立
|
所以xQ=
9 |
2 |
6 |
9 |
2 |
6 |
∴|PQ|=
(2-
|
25 |
2 |
设M(
t2 |
12 |
6 |
6 |
则d=
|
| ||||||
|
| ||
30 |
| ||
2 |
75 |
2 |
当t=-
| ||
2 |
| ||
30 |
75 |
2 |
5
| ||
4 |
即△MPQ面积的最大值为
1 |
2 |
25 |
2 |
5
| ||
4 |
125
| ||
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