题目内容

如图,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的准线与x轴交于F1,焦点为F2;以F1,F2为焦点,离心率e=
1
2
的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P,延长PF2交抛物线于点Q,M是抛物线C1上一动点,且M在P与Q之间运动.
(1)当m=1时,求椭圆C2的方程;
(2)当△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时,求△MPQ面积的最大值.
(1)当m=1时,y2=4x,则F1(-1,0),F2(1,0)
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),则c=1,又e=
c
a
=
1
2
,所以a=2,b2=3
所以椭圆C2方程为
x2
4
+
y2
3
=1(4分)
(2)因为c=m,e=
c
a
=
1
2
,则a=2m,b2=3m2
设椭圆方程为
x2
4m2
+
y2
3m2
=1

x2
4m2
+
y2
3m2
=1
y2=4mx
,得3x2+16mx-12m2=0(6分)
即(x+6m)(3x-2m)=0,得xP=
2m
3
代入抛物线方程得yP=
2
6
3
m,
即P(
2m
3
2
6
m
3

|PF2|=xP+m=
5m
3
,|PF1|=2a-|PF2|=4m-
5m
3
=
7m
3
,|F1F2|=2m=
6m
3

因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数,所以m=3(8分)
此时抛物线方程为y2=12x,P(2,2
6
),直线PQ方程为:y=-2
6
(x-3).
联立
y=-2
6
(x-3)
y2=12x
,得2x2-13x+18=0,即(x-2)(2x-9)=0,
所以xQ=
9
2
,代入抛物线方程得yQ=-3
6
,即Q(
9
2
,-3
6

∴|PQ|=
(2-
9
2
)
2
+(2
6
+3
6
)
2
=
25
2

设M(
t2
12
,t)到直线PQ的距离为d,t∈(-3
6
,2
6

则d=
|
6
6
t2+t-6
6
|
24+1
=
6
30
|(t+
6
2
2-
75
2
|(10分)
当t=-
6
2
时,dmax=
6
30
75
2
=
5
6
4

即△MPQ面积的最大值为
1
2
×
25
2
×
5
6
4
=
125
6
16
.(12分)
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网