题目内容
【题目】已知无穷数列
，
是公差分别为
、
的等差数列，记
（
），其中
表示不超过
的最大整数，即
.
（1）直接写出数列，的前4项，使得数列
的前4项为：2，3，4，5；
（2）若
，求数列的前
项的和
；
（3）求证：数列为等差数列的必要非充分条件是
.
【答案】（1）
的前4项为1，2，3，4，
的前4项为1，1，1，1；（2）
；（3）证明见解析
【解析】
（1）根据定义，选择，的前4项，尽量选用整数计算方便；（2）分别考虑，的前
项的规律，然后根据计算
的运算规律计算
；（3）根据必要不充分条件的推出情况去证明即可.
（1）由
的前4项为：2，3，4，5，选、的前
项为正整数：的前4项为1，2，3，4，的前4项为1，1，1，1；
（2）将
的前项列举出：
；将
的前项列举出：
；
则
；
（3）充分性：取
，此时
，将的前
项列举出：
，将前项列出：
，此时的前项为：
，显然不是等差数列，充分性不满足；必要性：设
，
，当为等差数列时，因为
，所以
，又因为
，所以有：
，且
，所以
；
，
，
不妨令
，则有如下不等式：
；
当
时，令
，则当
时，
，此时
无解；
当
时，令
，则当
时，
，此时无解；
所以必有：
，故：必要性满足；
综上：数列为等差数列的必要非充分条件是
【题目】某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了
件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在
内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表
是设备改造后的样本的频数分布表.
表：设备改造后样本的频数分布表
质量指标值 |
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频数 |
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（1）完成下面的
列联表，并判断是否有
的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
设备改造前 | 设备改造后 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
（2）根据频率分布直方图和表 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在
内的定为一等品，每件售价
元；质量指标值落在
或
内的定为二等品，每件售价
元；其它的合格品定为三等品，每件售价
元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为
（单位：元），求的分布列和数学期望.
附：
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