Question

17．将5个全等的正方形按如图所示方式放置在一个的矩形OEFG内，其中顶点P、C、Q、D分别在矩形的四条边上．
（1）设向量$\overrightarrow{PA}$=a，$\overrightarrow{PB}$=b，以向量a，b为基底，则向量$\overrightarrow{CD}$=3b-2a（用向量a，b表示）；
（2）若OE=7，OG=8，则图中5个正方形的边长都为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）把要求的向量表示成以小正方形的边为向量的形式，得到的关于正方形边的式子，得到结果．
（2）建立直角坐标系，用x、y表示出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，在表示出含有OE、OG的向量，联立方程组解出答案即可．

解答 解：（1）由图可知，做点E、F，
延长DE、CF，交于点M；
∴$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MD}$=$3\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PA}$=3b-2a；
（2）如图所示建立直角坐标系，连接PQ；
设$\overrightarrow{PA}=（x，y）$，则$\overrightarrow{PB}=（-y，x）$；
∴$\overrightarrow{CD}$=3b-2a=（-2x-3y，3x-2y）；
$\overrightarrow{PQ}$=3a+b=（3x-y，x+3y）；
∵OE=7，OG=8，则$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=7}\\{3x-2y=8}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{5}$，
即正方形的边长为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查向量的基本定理，这种问题解起来方向非常明确，只要把要用的向量写成已知条件比较多的正方形的边的形式就可以．